程诺打了响指，笑呵呵的开口说道，“其实这个序列你们应该都听说过，数学家哥德巴赫在给数学家欧拉的一封信中，提到了一个完全由费马数：fn=22n+1组成的序列这个概念，通过fn-2=f0f1···fn-1这个公式，可以证明费马数之间是彼此互素的。”

“以上，利用费马数组成的序列，就可以轻松得到素数无限的一个证明法。”程诺语气停顿了一下，开口说道，“下面我说第二个。”

“等一下！”一位队友大声叫停了程诺，急忙从背后的书包里拿出一摞草稿纸，将程诺提出的第一个证明法记下以后，才不好意思的对程诺说道，“你继续吧。”

他这么大声，自然引起了旁边许多学校的注意。

于是当众人看到剑桥大学这边两位天资横溢的博士生，此时却宛若小学生一般，仰着头期待着那边程诺讲话，皆是一脸的疑惑之色。

但时间紧迫，众人的视线只是在剑桥大学的队伍上停留了几秒时间，便匆匆接着自己的埋头苦算。

“呃，那我接着说。”程诺接着说道，“我第二个想出的办法是利用素数的分布进行求证。”

“法国数学家阿达马和比利时数学家瓦莱-普森于1896年证明的素数定理中指出，n以内的素数个数π的渐近分布为πnln，nln随n趋于无穷……”

“……由上，可得知对任意正整数n≥2，至少存在一个素数p使得napapltpapaplt2n。”程诺边说，一旁那位队友便在纸上唰唰的记着，双眼中满是掩饰不住的兴奋之色。

本以为程诺能提出一个新方向的证明方法，已经是实属难得，可未曾料想，程诺一口气直接提出了两个。

但程诺让两人的惊讶还在继续。

程诺瞥见记录的那位队友已经记完，清了清嗓子，开口道，“再说第三个。”

“还有？”队友诧异出声。

“当然还有。”程诺笑呵呵的说道，望着揉着手腕的队友，“这才哪到哪！”

“第三种，利用代数数论的知识证明。利用代数数论手段证明素数有无穷多个的出发点之一是利用所谓的欧拉φ函数。”

“对任一正整数n，欧拉φ函数的取值φ定义为：φ:=不大于n且与n互素的正整数的个数。对任一素数p，φ=p-1，这个是因为1，，p-1这p-1个不大于p的正整数显然都跟p互素。”

“然后，对两个不同的素数p1和p2，φ=，这是因为……”

欢迎你!

?444章

关于“素数有无穷多个”的证明方法，目前最被认可的是数学家欧里几得在《几何原本》第9卷的第20个命题列出的证明过程。

因此，这一命题也因此被称为了“欧几里德定理”。

欧里几得的证法很简单，也很平凡，因此得以进入初等数学的课堂。

他首先是假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。

然后设q为所有素数之积加上1，那么，q=（2x3x5x…xp）+1不是素数，那么，q可以被2、3、…、p中的数整除。

而q被这2、3、…、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。所以，素数是无限的。

这个古老而又简便的证明法，即便时隔两千多年，都无法否认它的强大。

…………

“我觉得既然是比数量的话，那我们最好就在欧里几得的证明法的基础上进行变种，这样浪费的时间估计会少一点。”

“嗯，我也这么觉得，毕竟我们只有半个小时的时间，我们三个至少每个人要想出来一个变种才有获胜的希望。”

“不不不，三个绝对不够，其他学校也不都是一些无能之辈，我觉得要争前三的话，起码五个更稳妥！我们最多用二十分钟的时间各自想出一个变种，然后我们三人最后十分钟再合力看看还有没有什么其他的思路。”

“好吧，那就这样。”

两位队友在激烈的讨论着。在达成了一致意见后，便齐齐扭头看向程诺。

“程诺，你没问题吧？”虽然时间紧迫，但两人还是想问一下程诺的意见。

“呃……，有一句话，我不知道当讲不当讲。”程诺挠挠头道。

两人一愣，回道，“但说无妨。”